Question

【題目】如圖，為直徑，是上一點，于點，弦與交于點，過點作，使，交的延長線于點．過點作的切線交的延長線于點．

(1)求證：是的切線；

(2)若，，求弧的長；

(3)若，，求的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)6.

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明∠3=∠1，再證明∠C=∠4，然后利用∠3+∠C=90°得到∠1+∠4=90°，則OD⊥DE，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）由切線的性質得∠OAG=90°，則利用四邊形內角和可計算出∠AOD=130°，然后根據弧長公式可計算出弧的長；

（3）設OF=x，則OB=3x，則可表示出BF=2x，再利用∠1=∠2得到ED=EF=2x+4，然后在Rt△ODE中，根據勾股定理得到（3x）2+（2x+4）2=（4+3x）2，再解方程求出x即可得到OB的長．

（1）連接OD．如圖，∵∠1=∠2，而∠2=∠3，∴∠3=∠1．

∵OC⊥AB，∴∠3+∠C=90°，∴∠1+∠C=90°．

∵OC=OD，∴∠C=∠4，∴∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴GE是⊙O的切線；

（2）∵AG為切線，∴AG⊥AB，∴∠OAG=90°，而∠ODG=90°，∴∠AOD=180°﹣50°=130°，∴弧的長==π；

（3）設OF=x，則OB=3x，∴BF=2x．

∵∠1=∠2，∴ED=EF=2x+4．

在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，∴（3x）2+（2x+4）2=（4+3x）2，解得：x=2，∴OB=3x=6．