Question

現有一形如直角三角板的三角形ABC（如圖1），其中∠C=90°，∠A=45°，該三角形內有一個半徑為1cm的⊙O，圓心O到三邊的距離均為

2

cm．將△ABC繞點C逆時針方向旋轉，旋轉角為α （0°＜α≤90°），旋轉后的三角形記為△EFC，⊙O記為⊙P．
（1）當α=45°時（如圖2），試判斷EF與CB的位置關系并說明理由；
（2）當⊙P與⊙O相外切時（如圖3），①求旋轉角α；②求⊙P掃過的面積；
（3）當CF與⊙O相切時，則sinα=

6 + 2

4

或

6 - 2

4

（直接寫出答案，結果保留根號）．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的銳角是45°，旋轉角是45°，即可得到∠F=∠FCB，從而判斷EF∥BC；
（2）①根據兩圓外切的性質：圓心距等于半徑的和，即可求得OP的長，求得OC的長，則△OPC的形狀即可判斷，從而求得旋轉角；
②根據⊙P掃過的面積S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O，利用扇形的計算公式和圓的面積公式即可求解；
（3）首先求得旋轉角，即可得到．

解答：解：（1）EF∥CB．
理由：∵當α=45⁰時，∠F=∠FCB，
∴EF∥CB；                         

（2）連接CO、CP，作OM⊥BC于M．
在直角△OCM中，OM=

2

，∠OCM=45°，
則OC=2，則OC=CP=2，
①∵當⊙P與⊙O相外切時，OP=2cm，
∴CO=CP=OP
∴∠PCO=60°
∴旋轉α=60°
②S_扇形CIJ-S_扇形CGH=

60

360

•π•32-

60

360

•π•12=

4

3

π
則S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O=

4

3

π+π=

7

3

π；

（3）當如圖（1）時，作PN⊥AC，
則在直角△PNC中，
∵PN=1，CP=2，
∴∠PCN=30°，
∵∠ACO=45°，
∴∠PCO=75°，即α=75°
則sinα=sin75°=

6 + 2

4

；
當如圖（2）時，連接OC、PC，設⊙P與AC切于點Q，連接PQ．
則∠ACP=30°，∠ACO=45°，
因而旋轉角α=∠ACO-∠ACP=15°，
則sinα=sin15°=

6 - 2

4

．
故答案是：

6 + 2

4

或

6 - 2

4

．

點評：本題考查了扇形的面積公式，切線的性質，以及三角函數，正確作出（3）中的兩種情況的圖形，求得旋轉角的度數是關鍵．