Question

（2008•自貢）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為M，與x軸的交點為A、B（點B在點A的右側），△ABM的三個內角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b．若關于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有兩個相等的實數根．
（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由．
（2）當頂點M的坐標為（-2，-1）時，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大致圖形．
（3）若平行于x軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與x軸相切，求該圓的圓心坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于關于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有兩個相等的實數根，利用一元二次方程的判別式可以得到△=（2b）²-4（m-a）（m+a）=0，進一步得到a²+b²=m²，由勾股定理的逆定理和拋物線的對稱性從而確定三角形△ABM的形狀；
（2）把二次函數解析式設為y=a（x+2）²-1，由（1）知道△ABM是等腰直角三角形，而斜邊上的中線等于斜邊的一半，又頂點M（-2，-1），所以AB=1，即AB=2，從而求出A，B的坐標，把B的坐標代入y=a（x+2）²-1就可以求出a，也就求出了拋物線的解析式，再根據解析式畫出圖象；
（3）設平行于x軸的直線為y=k，可以得到方程組，解方程組得到，（k＞-1），可以得到線段CD的長為，又以CD為直徑的圓與x軸相切，所以，解此方程求出k，就可以求出該圓的圓心坐標了．
解答：解：（1）令△=（2b）²-4（m-a）（m+a）=0
得a²+b²=m²
由勾股定理的逆定理和拋物線的對稱性知
△ABM是一個以a、b為直角邊的等腰直角三角形；

（2）設y=a（x+2）²-1
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜邊上的中線等于斜邊的一半
又頂點M（-2，-1）
∴AB=1，即AB=2
∴A（-3，0），B（-1，0）
將B（-1，0）代入y=a（x+2）²-1中得a=1
∴拋物線的解析式為y=（x+2）²-1，即y=x²+4x+3
圖象如圖：

（3）設平行于x軸的直線為y=k
解方程組
得，（k＞-1）
∴線段CD的長為
∵以CD為直徑的圓與x軸相切
據題意得
∴k²=k+1
解得
∴圓心坐標為（-2，）和（-2，）．
點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，等腰直角三角形的性質，拋物線的對稱性，直線與圓相切等知識，綜合性強，能力要求極高．