Question

如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
求證：PE+PF=BD．

Answer 1

證明：過P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），
∴四邊形PGDF是平行四邊形（兩條對邊互相平行的四邊形是平行四邊形）；
又∠GDF=90°，
∴四邊形PGDF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），
∴PF=GD（矩形的對邊相等）①
∵四邊形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（兩條直線平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的兩底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代換）
∵∠PEB=∠BGP=90°（已證），BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．
分析：根據已知，過P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，則△BPE≌△PBG，所以得
PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD．
點評：此題考查的知識點是全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質，關鍵是作輔助線證矩形PGDF，再證△BPE≌△PBG．