Question

【題目】如圖1，在中，，點D、E分別在邊上，連接DE，且.

（1）問題發現：若，則______________________.

（2）拓展探究：若，將饒點C按逆時針旋轉度，圖2是旋轉過程中的某一位置，在此過程中的大小有無變化？如果不變，請求出的值，如果變化，請說明理由；

（3）問題解決：若，將旋轉到如圖3所示的位置時，則的值為______________.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）有變化，理由見解析；（3）2cosβ

【解析】

（1）過E作EF⊥AB于F，根據等腰三角形性質得出∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，以此得出四邊形EFBD為矩形，得到EF=BD，推出△AEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形性質得出結論即可；

（2）根據等腰三角形性質得出∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，之后進一步根據相似三角形的性質解答即可；

（3）根據等腰三角形性質得出∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，再根據相似三角形性質得出,即，根據角的和差得到∠ACE=∠BCD，求得△ACE∽△BCD，證明出，過點B作BE⊥AC于F，則AC=2CF，根據相似三角形性質進一步得出結論即可.

如圖1，過E作EF⊥AB于F，

∵BA=BC，DE=DC，∠ACB=∠ECD=45°，

∴∠A=∠C=∠DEC=45°，

∴∠B=∠EDC=90°，

∴四邊形EFBD是矩形，

∴EF=BD，EF∥BC，

∴∠AEF=∠C=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴；

（2）

大小有變化，理由如下：

由題意得：△ABC與△EDC是等腰三角形，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∵∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴,

在△ABC中，如圖2，過點B作BF⊥AC于F點，則AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BC×cos30°=，

∴AC=，

∴;

（3）

由題意得：△ABC與△EDC是等腰三角形，且∠ACD=∠ECD=β，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∵∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴,

在△ABC中，如圖3，過點B作BF⊥AC于F點，則AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BCcosβ，

∴AC=2BCcosβ，

∴2cosβ.