Question

【題目】如圖，已知∠DAC＝90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連結CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連結QB并延長交直線AD于點E．

（1）如圖，求∠QEP的度數；

（2）如圖，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）60°，理由見解析；（2）BQ＝2﹣2．

【解析】

（1）先證明出△CQB≌△CPA，即可得出∠QEP=60°；

（2）作CH⊥AD于H，如圖2，證明△ACP≌△BCQ，則AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，得出AH=3，CH=3，即可得出PH=CH=3，即可得出結論．

（1）如圖1，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，則△CQB和△CPA中， ，∴△CQB≌△CPA（SAS），

∴∠CQB＝∠CPA，又因為△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ， ∴∠QEP＝∠QCP＝60°．

（2）作CH⊥AD于H，如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，

∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴△ACH為等腰直角三角形，

∴AH＝CH＝AC＝×4＝2 ，在Rt△PHC中，PH＝CH＝2，∴PA＝PH﹣AH＝2﹣2，

∴BQ＝2﹣2．