Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC邊上的垂直平分線交AC于D，交AB于E，延長DE到F，使BF=CE
（1）四邊形BCEF是平行四邊形嗎？說說你的理由．
（2）當∠A等于多少時，四邊形BCEF是菱形，并說出你的理由．
（3）四邊形BCEF可以是正方形嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）四邊形BCEF是平行四邊形，要證明四邊形BCEF是平行四邊形可轉化為證明FB=CE，FB∥CE即可；
（2）當∠A=30°時，四邊形BCEF是菱形，由（1）可知四邊形BCEF為平行四邊形，只要證明鄰邊相等即可即證明BC=CE；
（3）不可以，因為∠BCE始終是銳角，所以四邊形BCEF不可能是正方形．

解答：（1）四邊形BCEF是平行四邊形，理由如下：
證明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四邊形BCEF為平行四邊形；

（2）∠A=30°，
證明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE為等邊三角形，
∴BC=CE，
由（1）可知四邊形BCEF為平行四邊形，
∴四邊形BCEF為菱形；

（3）不可以，
因為∠BCE始終是銳角，所以四邊形BCEF不可能是正方形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質以及等邊三角形的判定和性質、正方形的判定，解題的關鍵是掌握各種特殊幾何圖形的判定方法和各種性質．