Question

一園林設計師要使用長度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個形狀、大小完全一樣的扇環面組成，每個扇環面如圖2所示，它是以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過O點的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環面積最大．
（1）求使圖1花圃面積為最大時R-r的值及此時花圃面積，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑；
（2）若L=160m，r=10m，求使圖2面積為最大時的θ值．

Answer 1

解：（1）若使形如圖1花圃面積為最大，則必定要求圖2扇環面積最大．
設圖2扇環的圓心角為θ，面積為S，根據題意得：L=+2（R-r），
L=θ•+2（R-r）
180l-360（R-r）=π（R+r）θ
∴θ=．
∴S==
=
=[L-2（R-r）]•（R-r）=-[（R-r）-]²+．
∵式中0＜R-r＜，
∴S在R-r=時為最大，最大值為．
∴花圃面積最大時R-r的值為，最大面積為．

（2）∵當R-r=時，S取值最大，
∴R-r==40（m），R=40+r=40+10=50（m）．
∴==（度）．
分析：（1）要求圖1花圃面積，就要求出一個大扇形減一個小扇形的面積，然后再利用函數分析討論最大值．
設圖2扇環的圓心角為θ，面積為S，根據題意得：L=+2（R-r）=θ•+2（R-r）．求出θ，S的關系式．最后可求得S在R-r=時為最大，最大值為．
（2）把值代入上式計算即可．根據（1）可得當R-r=時，S取值最大．把L的值代入可得解．
點評：本題綜合考查了扇形的面積計算和函數有關知識．