Question

如圖，直線l：y=

3

2

x+3交x軸、y軸于A、B點，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，D點坐標為（6，0）．
（1）求：A、B、C點坐標；
（2）若直線l沿x軸正方向平移m個（m＞0）單位長度，與AD、BC分別交于N、M點，當四邊形ABMN的面積為12個單位面積時，求平移后的直線的解析式；
（3）如果B點沿BC方向，從B到C運動，速度為每秒2個單位長度，A點同時沿AD方向，從A到D運動，速度為每秒3個單位長度，經過t秒的運動，A到達A′處，B到達B′處，問：是否能使得A′B′平分∠BB′D？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為y=

3

2

x+3交x軸、y軸于A、B點，所以分別令y=0，x=0，即可求出A、B點的坐標；又因四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，D點坐標為（6，0），所以C的縱坐標為3，利用等腰梯形的軸對稱性，結合A、D的坐標可知對稱軸為x=2，又因B（0，3），所以C的橫坐標為2+2=4；
（2）因為直線l沿x軸正方向平移m個（m＞0）單位長度與AD、BC分別交于N、M點，利用平移的性質可知AB∥MN，所以四邊形ABMN為平行四邊形，因此S_?ABMN=BO•m，即3m=12，解之可得m=4，所以平移后的直線過點（2，0），又因AB∥MN，所以可設平移后的直線為y=

3

2

x+b，結合直線過（2，0），即可求出b，求出答案；
（3）可設經過t秒的運動，能使設A′B′平分∠BB′D，這時B′點坐標為（2t，3），A′點坐標為（3t-2，0），因為BC∥AD，利用兩直線平行，內錯角相等可得∠BB′A′=∠B′A′D，又因為∠BB′A′=∠A′B′D，所以∠A′B′D=∠B′A′D，利用等角對等邊可得A′D=B′D，利用兩點間的距離公式可得（8-3t）²=（6-2t）²+9，解之求出t的值，再結合t的取值范圍決定取舍即可．

解答：解：（1）A（-2，0），B（0，3），C（4，3）；

（2）∵直線l沿x軸正方向平移m個（m＞0）單位長度與AD、BC分別交于N、M點，
∴AB∥MN，
∴四邊形ABMN為平行四邊形，
∴面積：S_?ABMN=BO•m，
即3m=12m=4，
∴平移后的直線為y=

3

2

x-3；

（3）如圖，設經過t秒的運動，能使設A′B′平分∠BB′D，
這時B′點坐標為（2t，3），A′點坐標為（3t-2，0），
∵BC∥AD，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴A′D=B′D，
即（8-3t）²=（6-2t）²+9，
整理得：5t²-24t+19=0，
∴t=1或t=

19

5

，
∴當t=

19

5

時，BB′=

19

5

×2＞4，
∵當t=1時，BB′=1×2＜4，AA′=1×3＜8，
∴當t=1秒時，A′B′平分∠BB′D．

點評：本題需借助數形結合、利用方程來解決問題．