Question

如圖，拋物線y=-x²+2mx+m+2的圖象與x軸交于A（-1，0），B兩點，在x軸上方且平行于x軸的直線EF與拋物線交于E，F兩點，E在F的左側，過E，F分別作x軸的垂線，垂足是M，N．
（1）求m的值及拋物線的頂點坐標；
（2）設BN=t，矩形EMNF的周長為C，求C與t的函數表達式；
（3）當矩形EMNF的周長為10時，將△ENM沿EN翻折，點M落在坐標平面內的點記為M'，試判斷點M'是否在拋物線上？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線上的點的坐標符合解析式，將A的坐標代入解析式即可求得m的值，進而求出解析式，即可求得頂點坐標；
（2）求出A、B兩點坐標，可表示出MN的長，求出F點縱坐標，可知NF的長，利用矩形面積公式即可求出C與t的函數表達式；
（3）根據反折變換的性質（反折前后圖形全等），結合勾股定理，求出M’點坐標，代入二次函數解析式驗證．

解答：解：（1）由于拋物線過點A（-1，0），
于是將A代入y=-x²+2mx+m+2
得-1-2m+m+2=0，
解得m=1，
函數解析式為y=-x²+2x+3，
解析式可化為y=-（x-1）²+4，頂點縱坐標為（1，4）．

（2）因為函數解析式為y=-x²+2x+3，
所以當y=0時可得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
則AB=3-（-1）=4．
又因為BN=t，M、N關于對稱軸對稱，
所以AM=t．于是MN=4-2t，
N點橫坐標為3-t，代入拋物線得：y_F=-t²+4t．
于是C=2（4-2t）-2（t-2）²+8，
整理得C=-2t²+4t+8；

（3）當-2t²+4t+8=10時，解得t=1，MN=4-2t=4-2=2；
FN=-1²+4=3，因為t=1，所以M與O點重合，連接MM'、EN，
且MM'和E相交于K，根據反折變換的性質，MK=M'K．
根據同一個三角形面積相等，2×3=

22+32

•MK
于是MK=

6 13

13

，MM'=

12 13

13

作M'H⊥MN的延長線于H．
設NH=a，HM′=b，
于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，

a2+b2=4 (a+2)2+b2=( 16 13 13 )2

，
解得a=

10

13

，b=

24

13

．
于是MH=2+

10

13

=

36

13

．
M'點坐標為（

36

13

，

24

13

），
代入函數解析式y=-x²+2x+3，y=-x²+2x+3=-（

36

13

）²+2×

36

13

+3=

147

169

≠

24

13

，點M'不在拋物線上．

點評：此題考查了利用代入法求函數解析式、根據矩形的性質列函數表達式以及結合翻變換折判斷點是否在函數圖象上，有一定的難度．