Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均為銳角．
（1）當∠A=∠B時，則CD與AB的位置關系是CD______AB，大小關系是CD______AB；
（2）當∠A＞∠B時，（1）中CD與AB的大小關系是否還成立，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用∠A、∠B均為銳角，則可延長AD與BC，設它們相交于E點，根據等腰三角形的判定由∠A=∠B得到EA=EB，而AD=BC，則ED=EC，再根據等腰三角形的性質得∠1=∠2，然后利用三角形內角和易得∠1=∠A，根據平行線的判定方法得到CD∥AB；
（2）分別過點D、B作BC、CD的平行線，兩線交于F點，根據平行四邊形的判定四邊形DCBF為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質得FD=BC，DC=FB，由AD=BC得到AD=FD；作∠ADF的平分線交AB于G點，連接GF，則∠ADG=∠FDG，然后根據“SAS”可判斷△ADG≌△FDG，則AG=FG，在△BFG中，根據三角形三邊的關系得到FG+BG＞BF，于是AG+BG＞DC，即DC＜AB．
解答：解：（1）由于∠A、∠B均為銳角，則延長AD與BC有交點，設它們相交于E點，所以CD＜AB，如圖1，
∵∠A=∠B，
∴EA=EB，
∵AD=BC，
∴ED=EC，
∴∠1=∠2，
而∠E+∠A+∠B=∠E+∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠A，
∴CD∥AB；

（2）答：CD＜AB還成立．
如圖2，分別過點D、B作BC、CD的平行線，兩線交于F點，作∠ADF的平分線交AB于G點，連接GF，則∠ADG=∠FDG．
∴四邊形DCBF為平行四邊形．
∴FD=BC，DC=FB，
∵AD=BC
∴AD=FD，
∵在△ADG和△FDG中
，
∴△ADG≌△FDG（SAS），
∴AG=FG，
在△BFG中，FG+BG＞BF．
∴AG+BG＞DC，
∴DC＜AB．
故答案為CD∥AB，CD＜AB．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應角相等，對應邊相等．也考查了平行四邊形的判定與性質以及三角形三邊的關系．