Question

（2006•湘西州）如圖，直線OQ的函數解析式為y=x．
下表是直線a的函數關系中自變量x與函數y的部分對應值．

x	…	-1	1	2	3	…
y	…	8	4	2	0	…

設直線a與x軸交點為B，與直線OQ交點為C，動點P（m，0）（0＜m＜3）在OB上移動，過點P作直線l與x軸垂直．
（1）根據表所提供的信息，請在直線OQ所在的平面直角坐標系中畫出直線a的圖象，并說明點（10，-10）不在直線a的圖象上；
（2）求點C的坐標；
（3）設△OBC中位于直線l左側部分的面積為S，寫出S與m之間的函數關系式；
（4）試問是否存在點P，使過點P且垂直于x軸的直線l平分△OBC的面積？若有，求出點P坐標；若無，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用表中信息，描點、連線即可得到a的圖象，由圖象可知這是一個一次函數的圖象，所以選擇其中的兩個點，
由待定系數法可求得直線a的解析式為y=-2x+6，然后判斷點（10，-10）的坐標是否滿足y=-2x+6，從而做出判斷；
（2）因為直線a與直線OQ交點為C，所以將兩函數的解析式聯立，得到方程組，解方程組即可求出交點的坐標；
（3）由（2）知，P（2，2），因為動點P（m，0）（0＜m＜3）在OB上移動，過點P作直線l與x軸垂直，所以需要分情況討論：
當0＜m≤2時，P在直線OQ上，所以△OBC中位于直線l左側部分是一個等腰直角三角形，S=m²；
當2＜m＜3時，P在直線BC上，所以△OBC中位于直線l右側部分是一個直角三角形S=×3×2-（3-m）•（-2m+6）；
（4）若有這樣的P點，使直線l平分△OBC的面積，很顯然0＜m＜2，由于△OBC面積等于3，故當l平分△OBC面積時，，所以m²=，解之即可．
解答：解：（1）由表中信息可知點（2，2），（3，0）在直線a上，描點連線得直線a的圖象，如圖．（1分）
由待定系數法可求得直線a的解析式為y=-2x+6（3分）
點（10，-10）的坐標不滿足y=-2x+6
所以點（10，-10）不在直線a圖象上（4分）

（2）解方程組（6分）
得x=y=2
故點C的坐標為（2，2）（8分）

（3）當0＜m≤2時，如圖（1），∵C的坐標是（2，2），作CD⊥x軸，則△OCD是等腰直角三角形，則△OPM也是等腰直角三角形．
則OP=PM=x，則
S=m²（11分）

當2＜m＜3時，如圖（2），NP=3-m，
∵△NCD∽△NMP，
∴=，
則MP=-2m+6，
S=S_△ONC-S_△NPM
=×3×2-（3-m）•（-2m+6）（13分）
=-m²+6m-6（14分）

（4）若有這樣的P點，使直線l平分△OBC的面積，很顯然0＜m＜2（16分）
由于△OBC面積等于3，故當l平分△OBC面積時，
∴m²=解得m=
故存在這樣的P點，使l平分△OBC的面積．
點P的坐標為（，0）．（20分）
點評：解決本題這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．