Question

如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為　15　．

Answer 1

考點：

相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理。

分析：

過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，根據題意設BE=DE=x，則AD=AF=4x，由DG∥EF，利用平行線分線段成比例求FG，由DF∥BC得△ADF∽△ABC，利用相似比求DF，同時可得∠DFG=∠C，易證Rt△DFG∽Rt△ACH，利用相似比求x，在Rt△ABH中，用勾股定理求AH，計算△ABC的面積，由△ADF∽△ABC，利用相似三角形的性質求△ADF的面積，作差求四邊形DBCF的面積．

解答：

解：如圖，過D點作DG⊥AC，垂足為G，過A點作AH⊥BC，垂足為H，

∵E為BD的中點，且AD=AB，

∴可設BE=DE=x，則AD=AF=4x，

∵DG⊥AC，EF⊥AC，

∴DG∥EF，=，即=，解得FG=x，

∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，=，即=，

解得DF=4，

又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，

∴Rt△DFG∽Rt△ACH，=，即=，

解得x²=，

在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH===9，

則S_△ABC=×BC×AH=×6×9=27，

又∵△ADF∽△ABC，∴=（）²=，

S_△ADF=×27=12，

∴S_{四邊形DBCF}=S_△ABC﹣S_△ADF=27﹣12=15，

故答案為：15．

點評：

本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理．關鍵是通過作輔助線，構造相似三角形，利用相似比解題．