Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∠ACD=30°，AB=12，BC=10，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：如圖，過點B作BE⊥AC于E，把△ABC分割成兩個直角三角形，然后解直角三角形ABE，求出AE、BE，再利用勾股定理在Rt△BEC求出CE，這樣就求出AC，最后在Rt△ADC中解直角三角形就可以求出AD，再利用三角函數求出DC的長，從而求出四邊形ABCD的周長．

解答：解：如圖，過點B作BE⊥AC于E，則∠AEB=∠BEC=90°．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠ACD=30°．
又∵AB=12，
∴EB=

1

2

AB=6，AE=AB•cos30°=6

3

，
在Rt△BEC中，∠BEC=90°，
∴CE=

BC2 -BE2

=8，
∴AC=AE+EC=6

3

+8，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=3

3

+4，DC=AC•cos30°=（6

3

+8）×

3

2

=9+4

3

，
∴四邊形ABCD的周長=AD+DC+BC+AB=3

3

+4+9+4

3

+10+12=35+7

3

．

點評：本題考查了梯形的性質、勾股定理的運用以及特殊角的銳角三角函數，解題的關鍵是把解直角三角形和勾股定理的計算和梯形的知識結合起來，利用三角形的知識解決梯形的問題．