Question

【題目】問題情境

（1）如圖1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度數．

佩佩同學的思路：過點P作PG∥AB，進而PG∥CD，由平行線的性質來求∠BPC，求得∠BPC＝　 　

問題遷移

（2）圖2．圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB與FD相交于點E，有一動點P在邊BC上運動，連接PE，PA，記∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．

①如圖2，當點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出∠APE與∠α，∠β之間的數量關系；

②如圖3，當點P在B，D兩點之間運動時，∠APE與∠α，∠β之間有何數量關系？請判斷并說明理由；

拓展延伸

（3）當點P在C，D兩點之間運動時，若∠PED，∠PAC的角平分線EN，AN相交于點N，請直接寫出∠ANE與∠α，∠β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由見解析；（3）∠ANE＝（∠α+∠β）

【解析】

（1）過點P作PG∥AB，則PG∥CD，由平行線的性質可得∠BPC的度數；

（2）①過點P作FD的平行線，依據平行線的性質可得∠APE與∠α，∠β之間的數量關系；

②過P作PQ∥DF，依據平行線的性質可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；

（3）過P和N分別作FD的平行線，依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠ANE與∠α，∠β之間的數量關系為∠ANE＝（∠α+∠β）．

解：（1）如圖1，過點P作PG∥AB，則PG∥CD，

由平行線的性質可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，

又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，

∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，

故答案為：80°；

（2）①如圖2，∠APE與∠α，∠β之間的數量關系為∠APE＝∠α+∠β；理由如下：

作PQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴PQ∥CG，

∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，

∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；

②如圖3，∠APE與∠α，∠β之間的數量關系為∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：

過P作PQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴PQ∥CG，

∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，

∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；

（3）如圖4，∠ANE與∠α，∠β之間的數量關系為∠ANE＝（∠α+∠β）．理由如下：

作NQ∥DF，

∵DF∥CG，

∴NQ∥CG，

∴∠DEN＝∠QNE，∠CAN＝∠QNA，

∵EN平分∠DEP，AN平分∠CAP，

∴∠DEN＝∠α，∠CAN＝∠β，

∴∠QNE＝∠α，∠QNA＝∠，

∴∠ANE＝∠QNE +∠QNA＝∠α+∠β=（∠α+∠β）；