Question

如圖，已知直線y=-x+2與坐標軸交于A、B兩點，點P在x軸上．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）圓⊙P半徑r=，當⊙P與直線AB相切時，求圓心P的坐標；
（3）當⊙P與直線AB相切時，恰有一條頂點坐標為C（2，2）的拋物線y=ax²+bx+c經過圓心P，若該拋物線與x軸的兩個交點中右邊的交點為M，在x軸上方同時也在直線AB上方的拋物線上是否存在一點Q，使四邊形ABMQ的面積最大？若存在，請求出這個最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB的解析式中，令x=0，可求得點A的坐標；令y=0，可求得點B的坐標．
（2）由于點P的位置不確定，那么需要考慮兩種情況：①點P在直線AB左側、②點P在直線AB右側；解題的方法大致相同，過圓心作直線AB的垂線，在構建的直角三角形中，根據圓的半徑和直角三角形中的特殊角，即可確定圓心P的坐標．
（3）首先利用待定系數法確定拋物線的解析式，進而用未知數表示點M的坐標；由圖可知：四邊形ABMQ的面積可由四邊形AOMQ和△ABO的面積差求得，由此得到關于四邊形ABMQ的面積和M點橫坐標的函數關系，由函數的性質可判斷四邊形ABMQ是否存在最大面積．
解答：解：（1）當x=0時，y=2；當y=0時，x=2．
所以A（0，2），B（2，0）．

（2）當⊙P從左向右運動時⊙P與直線AB有兩種相切情況．
第一種情況：如圖，當⊙P在直線AB的左側與直線AB相切時，過切點D₁作D₁P₁⊥x軸于P₁，
在Rt△D₁P₁B中，∠OBD₁=45°，D₁P₁=．
所以BP₁=2，恰好P₁與O點重合，坐標為（0，0）． 
第二種情況：如圖，當⊙P在直線AB的右側與直線AB相切時，過切點D₂作D₂P₂⊥x軸與P₂，
在Rt△D₂P₂B中，∠P₂BD₂=45°，D₂P₂=，
所以BP₂=2，OP₂=4，即P點的坐標為（4，0）．

（3）如圖（3）拋物線y=ax²+bx+c過原點O，且頂點坐標為（2，2）．
可設y=a（x-2）²+2，當x=0時y=0，
求得a=-，所以y=-x²+2x．
設在x軸上方的拋物線上存在點Q使四邊形ABMQ的面積最大，點Q坐標為（m，-m²+2m），連接OQ，由題意得
S_{四邊形ABMQ}=S_△AOQ+S_△OMQ-S_△AOB
=m×2+×4×（-m²+2m）-×2×2
=-m²+5m-2=-（m-）²+．
當m=時，S_{四邊形ABMQ}的最大值為．
經檢驗，點Q（，）在直線AB上方，所以，在x軸上方同時也在直線AB上方的拋物線上存在點Q使四邊形ABMQ的面積最大，S_{四邊形ABMQ}的最大值為．
點評：該題考查了函數解析式的確定、圓與直線的位置關系、圖形面積的解法等綜合知識．（2）題在解答時，P點的兩種位置是容易被忽視的地方．