Question

在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是邊長為1的正方形，其中點B、C分別在x軸和y軸上，點M為y軸負半軸上一動點，點N為x軸正半軸上一動點，且∠NAM=45°．
（1）試說明△OAN∽△OMA；
（2）隨著點N的變化，探求△OMN的面積是否發(fā)生變化？如果△OMN的面積不變，求出△OMN的面積；如果面積發(fā)生變化，請說明理由；
（3）當△AMN為等腰三角形時，請求出點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABOC是邊長為1的正方形可以得出∠AOC=45°，由∠NAM=45°可以得出∠AMO=∠NAO，再根據(jù)條件可以得出∠AOM=∠NOA，從而可以得出△OAN∽△OMA；
（2）由（1）的結論可以得出

OA

OM

=

ON

OA

，可以得出OA²=OM．ON，根據(jù)正方形的性質可以得出OA=

2

，從而可以得出OM．ON是定值，可以得出S_△OMN的值；
（3）分三種情況討論：當AM=MN，AM=AN，AN=MN時，根據(jù)等腰三角形的性質就可以求出N的坐標．

解答：解：（1）∵四邊形ABOC是邊長為1的正方形，
∴AB=BO=1，∠AOC=∠AOB=45°．
∵∠BOM=∠CON=90°，
∴∠AOM=∠AON=135°．
∵∠AOC=∠MAO+∠AMO=45°，且∠NAM=∠NAO+∠MAO=45°，
∴∠MAO+∠AMO=∠NAO+∠MAO，
∴∠AMO=∠NAO．
∵∠AOM=∠AON，
∴△OAN∽△OMA；

（2）△OMN的面積不發(fā)生變化．
理由：∵△OAN∽△OMA，
∴

OA

OM

=

ON

OA

．
∴OA²=OM．ON∴
∵AB=BO=1，在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO=

2

，
∴OM．ON=2．
∵S_△OMN=

OM．ON

2

，
∴S_△OMN=1；

（3）設N（n，0），M（0，m），
∴ON=n，OM=-m，
∴-mn=2，
∴m=-

2

n

，
在直角三角形中，由勾股定理得：
MN²=m²+n²，
AM²=2-2m+m²．
AN²=2+2n+n²，
∴MN²=

4

n2

+n²，
AM²=2+

4

n

+

4

n2

，
當AM=NM，即AM²=MN²時，
∴∠MAN=∠MNA=45°，
∴∠AMN=90°，
∴AM²+MN²=AN²，
∴

4

n2

+n²=2+

4

n

+

4

n2

，
∴n³-2n-4=0，
∴n³-8-2n+4=0，
∴（n-2）（n²+2n+4）-2（n-2）=0，
∴（n-2）（n²+2n+4-2）=0，
∴n-2=0或n²+2n+4-2=0，
解得：n=2，
N（2，0）；
當AM=AN時，
2+

4

n

+

4

n2

=2+2n+n²，
4n+4=2n³+n⁴，
n⁴+2n³-4n-4=0，
n⁴-4+2n（n²-2）=0
（n²+2）（n²-2）+2n（n²-2）=0
（n²-2）（n²+2n+2）=0，
解得：n=±

2

，
∵n＞0，
∴n=

2

，
∴N（

2

，0），
當AN=MN時，
2+2n+n²=

4

n2

+n²，
∴2n²+2n³=4，
n³+n²-2=0，
n³-1+n²-1=0，
（n-1）（n²+n+1）+（n+1）（n-1）=0，
（n-1）（n²+2n+2）=0，
解得：n=1，
∴N（1，0）．
∴N點的坐標為：（

2

，0），（2，0），（1，0）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用，在解答的過程中證明三角形相似是關鍵．