Question

△ABC中，∠C=90°，射線AD交射線BC于D，過D作DE垂直射線BA于點E，點F在射線CA上，BD=DF．
（1）如圖1，若AD是∠BAC的角平分線，求證：BE+AF=AC；
（2）如圖2，若射線AD平分△ABC的外角，且點F在射線DE上，則線段BE、AF和AC的數量關系是

BE=AF+AC

；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過D作DM∥AB交AC延長線于點M，若AE=2，AF=3，DM=

6

5

BE，求CM的長．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線性質求出CD=DE，根據HL證Rt△ECD≌Rt△BED，推出CF=BE即可；
（2）根據角平分線性質求出DE=DC，根據勾股定理求出AE=AC，根據ASA證△AEF≌△ACB，推出AF=AB即可；
（3）求出AC、AB、求出DM，證△DCM∽△BCA，得出比例式，求出即可．

解答：（1）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∠C=90°（CD⊥AC），DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠DEB=90°，
∵在Rt△ECD和Rt△BED中

DF=BD CD=DE

，
∴Rt△ECD≌Rt△BED（HL），
∴CF=BE，
∵AC=AF+CF，
∴BE+AF=AC；

（2）解：BE=AF+AC，
理由是：∵AD平分∠EAC，∠ACD=90°（CD⊥AC），AE⊥DE，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AC²=AD²-DC²，
∴AE=AC，
∵CD⊥AC，AE⊥DE，
∴∠ACB=∠AEF=90°，
在△AEF和△ACB中

∠AEF=∠ACB AE=AC ∠FAE=∠CAB

，
∴△AEF≌△ACB（ASA），
∴AF=AB，
∵BE=AB+AE，AE=AC，
∴BE=AF+AC；

（3）解：∵AE=2，AF=3，DM=

6

5

BE，
∴由（2）知：AC=AE=2，AB=AF=3，

6

3

BE=AF+AC=2+3=5，
∴DM=6，
∵DM∥AB，
∴△DCM∽△BCA，
∴

DM

AB

=

CM

AC

，
∴

6

3

=

CM

2

，
CM=4．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，角平分線性質，勾股定理等知識點，主要考查了學生運用性質進行推理的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．