Question

（2006•萊蕪）半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P．已知BC：CA=4：3，點P在上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；
（2）當點P運動到的中點時，求CQ的長；
（3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果點P與點C關于AB對稱，根據垂徑定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根據△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長，即可得出PC的值，進而可通過相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一組直角）求出CQ的長．
（2）當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BE⊥PC于點E（如圖）；由于P是弧AB的中點，由圓周角定理得∠ACP=∠PCB=45°，由△CEB是等腰直角三角形，可得CE=BE=BC=2；又由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB==BE：PE，得到PE=BE=進而求得PC，而從（1）中得，CQ=PC=．
（3）如果CQ去最大值，那么PC也應該取最大值，因此當PC是圓O的直徑時，CQ才取最大值．此時PC為5，可根據上面得出的PC、CQ的比例關系求出CQ的長．
解答：解：（1）當點P與點C關于AB對稱時，CP⊥AB，設垂足為D．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵AC•BC=AB•CD
∴CD=，PC=
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴，
∴CQ==PC=．

（2）當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BE⊥PC于點E（如圖）．
∵P是弧AB的中點，
∴∠PCB=45°，CE=BE=BC=2
又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
∴PE=BE=，PC=
而從（1）中得，CQ=PC=．

（3）點P在弧AB上運動時，恒有CQ==PC；
故PC最大時，CQ取到最大值．
當PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ最大值為．
點評：本題屬于常規的幾何綜合題，利用了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正切的概念求解．解第3小問時要有動態的思想（在草稿上畫畫圖）不難猜想出結論．