Question

已知反比例函數y=

k

2x

和一次函數y=2x-1，其中一次函數的圖象經過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）已知A是第一象限內兩個函數的交點，求點A的坐標；
（3）在（2）中，問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點（a，b），（a+k，b+k+2）分別代入一次函數解析式，即可得出關于b的等式，即可得出答案；
（2）利用（1）中k的值，得出反比例函數解析式，將兩函數組成方程組，求出交點坐標即可；
（3）分別根據當AP₁⊥x軸時，當AO=OP₂時，當AO=AP₃時，當AO=P₄O時，得出答案即可．

解答：解：（1）∵一次函數的圖象經過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點，
∴b=2a-1①，2a+2k-1=b+k+2②，
∴整理②得：b=2a-1+k-2，
∴由①②得：2a-1=2a-1+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴反比例函數的解析式為：y=

1

x

；

（2）解方程組

y= 1 x y=2x-1

，
解得：

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∴A（1，1），B（ -

1

2

，-2）；

（3）當AP₁⊥x軸，AP₁=OP₁，∴P₁（1，0），
當AO=OP₂，∴P₂（

2

，0），
當AO=AP₃，∴P₃（2，0），
當AO=P₄O，∴P₄（-

2

，0）．
∴存在P點P₁（1，0），P₂（

2

，0），P₃（2，0），P₄（-

2

，0）．

點評：此題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合應用，以及交點坐標求法和等腰三角形的性質等知識，根據圖象上點的性質得出2a-1=2a-1+k-2，從而得出k的值是解決問題的關鍵．