Question

某工廠生產一種機器的固定成本為5000元，且每生產100臺需要投入2500元，對銷售市場進行調查后，得知市場對此產品的需求量為每年500臺，且銷售收入可看作是函數y=500x-

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2

x2，其中x是產品售出的數量，且0≤x≤500，已知此機器重要部件更新換代快，若造成積壓，第二年無法賣出或無利可圖．
（1）分別寫出當0≤x≤500及x＞500時利潤w與年產量x之間的函數關系式；
（2）請你運用函數知識，為該廠廠長設計一個最佳的生產計劃，并求出由此計劃獲得的最大年利潤是多少？

Answer 1

（1）當0≤x≤500時，產品全部售出
∴W=500x-

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x2-(5000+25x)
即W=-

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x2+475x-5000（2分）
當x＞500時，產品只能售出500臺
∴W=500×500-

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×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）

（2）當0≤x≤500時，W=-

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(x-475)2+107812.5（6分）
當x＞500時，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故當年產量為475臺時取得最大利潤，且最大利潤為107812.5元，最佳生產計劃475臺．（10分）