Question

如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點，作AG⊥EF交EF于G，又B為AG上一點，EB的延長線交半圓于K，
求證：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE²=EB•EK．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明兩個三角形相似，已經有一個公共角，只需根據等角的余角相等得到∠BAE=∠F，再根據同弧所對的圓周角相等得到∠F=∠K，即可證明兩個三角形相似；
（2）根據（1）中的相似三角形就可證明．
解答：證明：（1）連接AK、AF，
∴∠K=∠F=90°-∠AEF=90°-∠AEG．
∠EAG=90°-∠AEG．
∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．
∴△AEB∽△KEA．

（2）由①得△AEB∽△KEA，
∴．
∴AE²=EB•EK．
點評：本題要求能夠熟練運用圓周角定理的推論．掌握相似三角形的性質和判定．