Question

已知：如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=2x與函數y=的圖象在第一象限的交于A點，AM⊥x軸，垂足是M，把線段OA的垂直平分線記作l，線段AN與OM關于l對稱．
（1）畫出線段AN（保留畫圖痕跡）；
（2）求點A的坐標；
（3）求直線AN的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）作線段OA的垂直平分線l交OA與B點，交x軸于P點，連AP，截取AN=OM，則線段AN與OM關于l對稱；
（2）解方程組即可得到點A的坐標；
（3）先根據勾股定理計算出OA==，再根據中垂線的性質得到OB=OA=，∠PBO=90°，易得Rt△POB∽Rt△AOM，則=，即=，求得OP=×=，確定點P（，0），設直線AN的函數解析式為y=kx+b，根據對稱性得到直線AN必過點N，然后利用待定系數法求直線AN的解析式．
解答：解：（1）如圖；

（2）解方程組，得或，
∵點A在第一象限，
∴點A（1，2）；

（3）設l與x軸交于點P，與OA交于點B，
∵OM=1，AM=2，AM⊥x軸
∴OA==，
∵PB垂直平分OA，
∴OB=OA=，∠PBO=90°，
∴Rt△POB∽Rt△AOM，
∴=，即=，
∴OP=×=．
∴點P（，0），
設直線AN的函數解析式為y=kx+b，
∵OM與AN關于PB對稱，
∴直線AN必過點N，
把點A和P的坐標分別代入y=kx+b，得 
，
解得k=，b=．
∴直線AN的函數解析式為y=-x+，
∴直線AN的解析式是y=x+．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：一次函數與反比例函數圖象的交點坐標滿足兩個圖象的解析式；運用中垂線和相似三角形的判定與性質求線段的長；利用待定系數法求函數的解析式．