Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，連接DE、EF
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE與△BAO相似；
（2）寫出以點(diǎn)D、F、E、O為頂點(diǎn)的四邊形面積s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）是否存在這樣一個(gè)時(shí)刻，此時(shí)以點(diǎn)D、F、E、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，
∴OB=6，OA=8，
則AD=t，BE=t，BD=10-t，
∵△BDE與△BAO具有公共角∠ABO．
∴當(dāng)=，=時(shí)兩三角形相似．
即=或=，
解得t=5或，
∴當(dāng)t為5或時(shí)，△BDE與△BAO相似．

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF：BO=AD：AB=AF：OA，∴DF=t，AF=，
∴BE=DF，∴四邊形DFEB為平行四邊形，S_△DEF=S_△BEF=S_DFEB，
∴四邊形OFDE的面積等于△BOF的面積，
∴s=BO•OF=×6×（8-t）=24-t（0＜t≤10）．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形OEFD為梯形，
s=（OE+DF）•OF=×（t-6+t）×（t-10）=t²-t+24（t＞10）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，已知四邊形DFEB為平行四邊形，只需保證BD=BE，
即可保證四邊形DFEB是菱形，
即10-t=，
解得t=．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，易證四邊形BEFD為平行四邊形，只需保證BD=BE，
即可保證四邊形DFEB是菱形，
即t-10t，
解得t=25．
綜上所述，當(dāng)t的值為或25時(shí)，以點(diǎn)D、F、E、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
分析：（1）根據(jù)當(dāng)=，=時(shí)兩三角形相似，進(jìn)而求出t的值，即可得出答案；
（2）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形OEFD為梯形，進(jìn)而求出s與t的函數(shù)關(guān)系即可；
（3）根據(jù)（2）中圖形，利用菱形的判定得出t的值即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定和梯形的面積求法等知識(shí)，利用分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．