Question

（2012•棗陽市模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．
（1）試判斷DE與⊙O的位置關系并證明；
（2）求證：BC²=2CD•OE；
（3）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，BD，由AB是直徑，根據圓周角定理的推論得到∠ADB=∠BDC=90°，由E是BC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE=EC，則∠EBD=∠EDB，而∠OBD=∠ODB，
則有∠EDO=∠EBO=90°，根據切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切；
（2）OE是△ABC的中位線，根據中位線性質得到AC=2OE，根據相似三角形的判定易證得Rt△ABC∽Rt△BDC，則

BC

CD

=

AC

BC

，即BC²=CD•AC，即可得到BC²=2CD•OE；
（3）由DE=BE=EC得到BC=2DE=4，在Rt△BDC中，根據正切的定義得到tanC=

5

2

=

BD

DC

，則可設BD=

5

x，CD=2x，然后利用勾股定理得到（

5

x）²+（2x）²=4²，解得x=±

4

3

（負值舍去），則x=

4

3

，
在Rt△ABD中，由于∠ABD=∠C，則tan∠ABD=tan∠C，再根據正切的定義得

AD

BD

=

5

2

，于是有AD=

5

2

BD=

10

3

．

解答：（1）解：DE與⊙O相切．理由如下：
連接OD，BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=BE=EC，
∴∠EBD=∠EDB，
又∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDO=∠EBO=90°，即OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；
（2）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠ACB=∠BCD，
∴Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即BC²=CD•AC，
∴BC²=2CD•OE；

（3）解：在Rt△BDC中，
∵DE=BE=EC，
∴BC=2DE=4，
∵tanC=

5

2

=

BD

DC

，
∴設BD=

5

x，CD=2x，
∵BD²+CD²=BC²，
∴（

5

x）²+（2x）²=4²，
解得x=±

4

3

（負值舍去），
∴x=

4

3

，
∴BD=

5

x=

4

3

5

，
在Rt△ABD中，∵∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tan∠C，
∴

AD

BD

=

5

2

，
∴AD=

5

2

BD=

10

3

．

點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；直徑所對的圓周角為直角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；運用相似三角形的判定與性質證明等積式；運用正切的定義以及勾股定理進行幾何計算．