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求函數y=x2+
1x2
的最小值，較合適的數學方法應該是
 
法，當然還可以用
 
法等方法來解決．
分析：求極值得問題一般應把代數式化為完全平方公式的形式，或通過函數圖象解答．
解答：解：要求該函數的最小值，可以運用配方法：即y=（x-
1
x
）2+2≥2，則當x=±1時，有最小值是2；
或者通過正確畫出圖象，觀察圖象發現函數的最小值．
點評：此題考查了求函數的最小值的方法．注意x2和
1
x2
都是非負數．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

甲，乙兩位同學對問題“求函數y=x2+
1
x2
的最小值”提出各自的想法．甲說：“可以用配方法，把它配成y=(x+
1
x
)2-2，所以函數的最小值為-2”．乙說：“我也用配方法，但我配成y=(x-
1
x
)2+2，最小值為2”．你認為
（填寫“甲對”，“乙對”，“甲，乙都對”或“甲乙都不對”）的．你還可以用
法等方法來解決．

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科目：初中數學 來源： 題型：

我們知道，對于二次函數y=a（x+m）2+k的圖象，可由函數y=ax2的圖象進行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我們稱函數y=ax2為“基本函數”，而稱由它平移得到的二次函數y=a（x+m）2+k為“基本函數”y=ax2的“朋友函數”．左右、上下平移的路徑稱為朋友路徑，對應點之間的線段距離
m2+k2
稱為朋友距離．
由此，我們所學的函數：二次函數y=ax2，函數y=kx和反比例函數y=
k
x
都可以作為“基本函數”，并進行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相應的“朋友函數”．
如一次函數y=2x-5是基本函數y=2x的朋友函數，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路徑可以是向右平移1個單位，再向下平移3個單位，朋友距離=
12+32
=
10
．
（1）探究一：小明同學經過思考后，為函數y=2x-5又找到了一條朋友路徑為由基本函數y=2x先向
 
，再向下平移7單位，相應的朋友距離為
 
．
（2）探究二：已知函數y=x2-6x+5，求它的基本函數，朋友路徑，和相應的朋友距離．
（3）探究三：為函數y=
3x+4
x+1
和它的基本函數y=
1
x
，找到朋友路徑，并求相應的朋友距離．

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科目：初中數學 來源： 題型：

問題背景：
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數關系式為：s=-x2+
1
2
x（x＞0），利用函數的圖象或通過配方均可求得該函數的最大值．
提出新問題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析問題：
若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：y=2(x+
1
x
)（x＞0），問題就轉化為研究該函數的最大（小）值了．
解決問題：
借鑒我們已有的研究函數的經驗，探索函數y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值．
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數y=2(x+
1
x
)（x＞0）的圖象：
x … 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 …
y …
17
2
20
3
 5 4 5
20
3
17
2
 …
（2）觀察猜想：觀察該函數的圖象，猜想當x=
1
1
時，函數y=2(x+
1
x
)（x＞0）有最
小
小
值（填“大”或“小”），是
4
4
．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數s=-x2+
1
2
x（x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（小）值，以證明你的猜想．〔提示：當x＞0時，x=(
x
)2〕

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科目：初中數學 來源： 題型：

我們知道，假分數可以化為帶分數．例如：
8
3
=2+
2
3
=2
2
3
．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．例如：
x-1
x+1
，
x2
x-1
這樣的分式就是假分式；
3
x+1
，
2x
x2+1
這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式和的形式）．
例如：
x-1
x+1
=
(x+1)-2
x+1
=1-
2
x+1
； 
x2
x-1
=
x2-1+1
x-1
=
(x+1)(x-1)+1
x-1
=x+1+
1
x-1
．
（1）將分式
x-1
x+2
化為帶分式；
（2）若分式
2x-1
x+1
的值為整數，求x的整數值；
（3）求函數y=
2x2-1
x+1
圖象上所有橫縱坐標均為整數的點的坐標．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

我們知道，假分數可以化為帶分數．例如：
8
3
=2+
2
3
=2
2
3
．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．例如：
x-1
x+1
，
x2
x-1
這樣的分式就是假分式；
3
x+1
，
2x
x2+1
這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式和的形式）．
例如：
x-1
x+1
=
(x+1)-2
x+1
=1-
2
x+1
； 
x2
x-1
=
x2-1+1
x-1
=
(x+1)(x-1)+1
x-1
=x+1+
1
x-1
．
（1）將分式
x-1
x+2
化為帶分式；
（2）若分式
2x-1
x+1
的值為整數，求x的整數值；
（3）求函數y=
2x2-1
x+1
圖象上所有橫縱坐標均為整數的點的坐標．

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