Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求△ABP的周長．
（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？(要有必要的過程)

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，

∴出發2秒后，則CP=2，

∵∠C=90°，

∴PB=

∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+ =7+

（2）解：①如圖2，若P在邊AC上時，BC=CP=3cm，

此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；

②若P在AB邊上時，有三種情況：

i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時AP=2cm，P運動的路程為2+4=6cm，

所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；

ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為2.4cm，

作CD⊥AB于點D，

在Rt△PCD中，PD=1.8，

所以BP=2PD=3.6cm，

所以P運動的路程為9-3.6=5.4cm，

則用的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；

ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時P應該為斜邊AB的中點，P運動的路程為4+2.5=6.5cm

則所用的時間為6.5s，△BCP為等腰三角形；

綜上所述，當t為3s、5.4s、6s、6.5s時，△BCP為等腰三角形

【解析】（1）根據勾股定理求出AC的長，由出發2秒后，得到CP=2，再根據勾股定理求出PB的長，得到△ABP的周長；（2）①若P在邊AC上時，BC=CP=3cm，此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；②若P在AB邊上時，有三種情況，若使BP=CB=3cm，此時AP=2cm，P運動的路程為2+4=6cm，所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為2.4cm，得到用的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；若BP=CP，此時P應該為斜邊AB的中點，P運動的路程為4+2.5=6.5cm，所用的時間為6.5s，△BCP為等腰三角形；此題是綜合題，難度較大，分類討論時需認真仔細.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的判定的相關知識，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．