Question

如圖：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3與y軸的交點為D，與x軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H．
（1）求a，b的值；   
（2）寫出頂點C的坐標為______；
（3）計算四邊形ACDO的面積；
（4）在y軸上是否存在點F，使得△ACF是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可；
（2）利用配方法求出頂點坐標即可；
（3）根據A，C，D的坐標求出AH，HO，DO的長度，進而求出四邊形ACDO的面積即可；
（4）首先證明△CEF∽△FOA，得出y軸上存在點F（0，3）或（0，1），即可得出△ACF是以AC為斜邊的直角三角形．
解答：解：（1）將A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3，
，
解得：，
故a=-1，b=-2，

（2）∵a=-1，b=-2，
∴y=-x²-2x+3，
=-（x+1） ²+4，
故頂點C的坐標為（-1，4）；
故答案為：（-1，4）；

（3）如圖1所示：∵y=-x²-2x+3，
當x=0，得出y=3，
∴D點坐標為：（0，3），
∵C的坐標為（-1，4），A（-3，0），
∴AH=2，CH=4，HO=1，OD=3，
∴S_{四邊形ACDO}=S_△ACH+S_{四邊形CHOD}=×2×4+（3+4）×1=；

（4）如圖2，假設在y軸上存在滿足條件的點F，過點C作CE⊥y軸于點E，
由∠CFA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠FOA=90°，
∴△CEF∽△FOA，∴=，
設F（0，c），則=．
變形得c²-4c+3=0，
解得：c₁=3，c₂=1．
綜合上述：在y軸上存在點F（0，3）或（0，1），使△ACF是以AC為斜邊的直角三角形．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．