Question

如圖，某旅游區有一個景觀奇異的望天洞，點D是洞的入口，游人從入口進洞游覽后，要經山洞到達山頂的出口涼亭A處觀賞旅游區風景，最后做纜車沿索道AB返回山腳下的B處．在同一平面內，若測得斜坡BD的長為100米，坡角∠DBC=10°，在A處測得的仰角∠ABC=40°，在D處測得的仰角∠ADF=45°，過點D做地面BE的垂線，垂足為點C．
（1）求∠ADB的度數；
（2）求索道AB的長（結果僅保留根號）．

Answer 1

解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°．
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°，
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°．

（2）過點D作DG⊥AB于點G．
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°．
又∵BD=100米，
∴GD=BD=100×=50米．
∴GB=BD×cos30°=100×=50米．
在Rt△ADG中，∠ADG=105°-60°=45°，
∴GD=GA=50米．
∴AB=AG+GB=（50+50）米．
答：索道AB的長（50+50）米．
分析：（1）利用點D處的周角即可求得∠ADB的度數；
（2）首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及到兩個直角三角形，應利用其公共邊構造三角關系，進而可求出答案．
點評：本題考查仰角的定義及直角三角形的解法．首先構造直角三角形，再借助角邊關系、三角函數的定義解題是關鍵．