Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC+∠ADC=120°，將一透明三角板60°角的頂點落在點A上，并繞著點A旋轉，三角板的兩邊分別交BC、CD于點E、F．

（1）如圖1，求∠BAD的度數；

（2）如圖2，求證：BE+DF=AB；

（3）如圖3，在（2）的條件下，取AB中點G，作等邊△EGH，連接AH，延長GH剛好與平行四邊形ABCD交于點D，若AH⊥AB，△EGH的面積為．求DH的長．

Answer 1

【答案】（1）120° （2）證明見解析 （3）

【解析】

（1）根據菱形和平行線的性質可得，再根據，可得，即可求出的度數；

（2）連接AC，根據菱形的性質和三角板的性質可得△ACD和△ABC是等邊三角形，即可證明，可得，即可得證；；

（3）延長AH與CD交于點O，連接AC、OG，通過證明四邊形AGOD是平行四邊形，可得，再根據勾股定理求出GH的長度即可．

（1）∵四邊形ABCD是菱形

∴

∵

∴

∴；

（2）連接AC

根據三角板的性質得

∵四邊形ABCD是菱形，

∴

∴△ACD和△ABC是等邊三角形

∴

∴

在△ACE和△ADF中

∴

∴

∴

∴；

（3）延長AH與CD交于點O，連接AC、OG

∵

∴

∴

∴

∴

∵四邊形ABCD是菱形

∴

∴△ACD是等邊三角形

∴

∵G是AB的中點

∴

∴四邊形AGOD是平行四邊形

∴GH、HD是平行四邊形AGOD的對角線

∴

∵△EGH是等邊三角形，△EGH的面積為

∴

解得

∴ ．