Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點。將射線AM繞著點A順時針旋轉45°得到射線AN。點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點C在∠MAN的內部。
（1）求線段AC的長；
（2）當軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；
（3）求△BCD周長的最小值；
（4）當△BCD的周長取得最小值，且時，△BCD的面積為_____________。（第（4）問只需填寫結論，不要求書寫過程）

Answer 1

解：（1）∵直線與x軸、y軸分別交于C、A兩點，
∴點C的坐標為，點A的坐標為（0，2）。
∴AC＝4。
（2）如圖1，當AD∥BC時，

可知∠DAB＝45°，∴∠ABO＝45°。∴OB＝OA＝2。



如圖2，當AB∥DC時，可得
設射線AN交x軸于點E。
∵AD∥x軸，
∴四邊形AECD為平行四邊形。

綜上所述，當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，

（3）如圖3，作點C關于射線AM的對稱點，點C關于射線AN的對稱點。
由軸對稱的性質，可知
連結、，
可得

連結。
∵兩點之間線段最短，
∴當B、D兩點與、在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段的長。∴△BCD的周長的最小值為。
（4）