Question

（2009•溫州）某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒______．

（1）現有正方形紙板162張，長方形紙板340張．若要做兩種紙盒共100個，設做豎式紙盒x個．
①根據題意，完成以下表格：

紙盒 紙板	豎式紙盒（個）	橫式紙盒（個）
	x	100-x
正方形紙板（張）		2（100-x）
長方形紙板（張）	4x

②按兩種紙盒的生產個數來分，有哪幾種生產方案？
（2）若有正方形紙162張，長方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完．已知290＜a＜306．求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①可根據豎式紙盒+橫式紙盒=100個，每個豎式紙盒需1個正方形紙板和4個長方形紙板，每個橫式紙盒需3個長方形紙板和2個正方形紙板來填空．
②生產豎式紙盒用的正方形紙板+生產橫式紙盒用的正方形紙板≤162張；
生產豎式紙盒用的長方形紙板+生產橫式紙盒用的長方形紙板≤340張．
由此，可得出不等式組，求出自變量的取值范圍，然后得出符合條件的方案．
（2）設x個豎式需要正方形紙板x張，長方形紙板橫4x張；y個橫式需要正方形紙板2y張，長方形紙板橫3y張，可列出方程組，再根據a的取值范圍求出y的取值范圍即可．
解答：解：（1）①如表：

紙盒 紙板	豎式紙盒（個）	橫式紙盒（個）
	x	100-x
正方形紙板（張）	x	2（100-x）
長方形紙板（張）	4x	3（100-x）

②由題意得，，
解得38≤x≤40．
又∵x是整數，
∴x=38，39，40．
答：有三種方案：生產豎式紙盒38個，橫式紙盒62個；
生產豎式紙盒39個，橫式紙盒61個；
生產豎式紙盒40個，橫式紙盒60個；

（2）如果設x個豎式需要正方形紙板x張，長方形紙板橫4x張；y個橫式需要正方形紙板2y張，長方形紙板橫3y張，可得方程組，
于是我們可得出y=，
因為已知了a的取值范圍是290＜a＜306，
所以68.4＜y＜71.6，由y取正整數，
則，當取y=70，則a=298；
當取y=69時，a=303；
當取y=71時，a=293．
293或298或303（寫出其中一個即可）．
點評：（1）根據豎式紙盒和橫式紙盒分別所需的正方形和長方形紙板的個數求解即可；
（2）根據生產兩種紙盒分別共用的正方形紙盒的和及長方形紙盒的和的取值范圍列出不等式組，求出其解集即可；
（3）根據（1）中生產兩種紙盒分別所需正方形及長方形紙板的比及兩種紙板的張數，列出方程組，根據a的取值范圍即可求出y的取值范圍．
本題考查一元一次不等式組的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題列出不等式關系式即可求解．