Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，點P為x軸上的一個動點，點P不與點0、點A重合．連接CP，過點P作PD交AB于點D．
（1）直接寫出點B的坐標(biāo)（

 

，

 

）．
（2）當(dāng)點P在線段OA上運動時，使得∠CPD=∠OAB，且

BD

AD

=

3

2

，求點P的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)點P在x軸上運動時，能使得△OCP為等腰三角形，求這時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）作BQ⊥x軸于Q，依題意可得OQ=4，AQ=3，已知AB=5，根據(jù)勾股定理求出QB即可解答．
（2）利用相似三角形的判定證明△OCP∽△APD，根據(jù)等比性質(zhì)可求出AP，OP的值．
（3）分點P在x正半軸上與x負(fù)半軸上上兩種情況討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可得OP、OC的長，進(jìn)而可得答案；

解答：解：（1）作BQ⊥x軸于Q．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
在Rt△BQA中，BA=4，
AQ=（7-1）÷2=3
OQ=7-3=4
BQ=

52-32

=4
∴點B的坐標(biāo)為（4，4）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB，
∴∠OCP=∠APD．（1分）
∵∠COP=∠PAD，（1分）
∴△OCP∽△APD．（1分）
∴

OP

AD

=

OC

AP

．
∴OP•AP=OC•AD．（1分）
∵

BD

AD

=

3

2

，∴BD=

3

5

AB=3，
AD=AB-BD=2．
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=5×2，（1分）
解得：OP=2或5．
∴點P坐標(biāo)為（2，0）或（5，0）．（2分）

（3）①當(dāng)OC=OP時，若點P在x正半軸上，
∵△OCP為等腰三角形，
∴OP=OC=5．
∴P（5，0）．
若點P在x負(fù)半軸上，
∴OP=OC=4．
∴P（-5，0）
∴點P的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）．
②當(dāng)OC=CP時，由題意可得P的橫坐標(biāo)為：2×3=6
∴P點坐標(biāo)為（6，0）
③當(dāng)OP=PC時
點p的坐標(biāo)為p（

25

6

，0）．
綜上可得點P的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（

25

6

，0）．

點評：本題綜合考查了三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形性質(zhì)的運用，難度中上．本題是一道動態(tài)幾何壓軸題，對學(xué)生的分類思想作了重點的考查，是一道很不錯的題．