Question

AB是⊙O的直徑，點E是半圓上一動點（點E與點A、B都不重合），點C是BE延長線上的一點，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點H，點H與點A不重合．
（1）求證：△AHD∽△CBD；
（2）連HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證△AHD∽△CBD，只要證明這兩個三角形的兩組對邊的比相等，就可以證出；
（2）①設OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，由Rt△AHD∽Rt△CBD可用x表示出DH的值，在Rt△HOD中利用勾股定理可用x表示出OH的值，進而可得出結論；
②當點E移動到使D與O重合的位置時，這時HD與HO重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用對應邊的比例式為方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1；
③當D在OA段時BD=1+x，AD=1-x，證明同①．
解答：（1）證明：AB是⊙O的直徑
∴∠AEB=90°，則∠ABC+∠BAE=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BAE+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠ABC，
又∵∠ADH=∠CDB=90°，
∴△AHD∽△CBD．

（2）解：設OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，
∵Rt△AHD∽Rt△CBD，
則HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH==，
所以HD+HO=+=1；
②當點E移動到使D與O重合的位置時，這時HD與HO重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用對應邊的比例式為方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1；
③當D在OA段時BD=1+x，AD=1-x，證明同①∵Rt△AHD∽Rt△CBD，
則HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH==，
所以HD+HO=+=1．
點評：本題主要考查了三角形相似的證明方法，有兩組對應角相等的三角形相似；在第二問中根據三角形相似，對應邊的比相等，把問題轉化為解方程的問題．