Question

作圖、說理和計算：如圖，已知△ABC，
（1）完成下列作圖：
①用尺規作AC邊上的中線BD（保留痕跡，不寫作法）；
②畫AB邊上的高CE，
（2）把△ABD繞點D旋轉180°，畫出經變換后的像△CDF，連接AF，線段AF與線段BC相等嗎？說明理由．
（3）在上述（1），（2）所畫圖形中，已知CE=4，S_△ADF=10，求S_△ABC及AB的長．

Answer 1

解：（1）①如圖，線段BD即為所求的AC邊上的中線；
②如圖，線段CE即為所求的AB邊上的高，

（2）線段AF與線段BC相等，理由如下：
AD=CD，
在△ADF與△BCD中，∠ADF=∠CDB，
DF=BD
∴△ADF≌△BCD，
∴AF=BC；

（3）∵△ADF≌△CBD，
∴S_△BCD=S_△ADF=10，
∵AD=DC，
∴S_△ABC=2S_△BCD=20，
∴×AB×CE=20，
∵CE=4，
∴AB=10．
分析：（1）①作出AC的垂直平分線交AC于點D，連接BD即為所求的線段；
②以點C為圓心，較大的長為半徑畫弧，交直線BA于兩點，分別以這兩點為圓心，大于這兩點的距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點C及這點畫直線，交AB的延長線于一點E，CE就是所求的線段；
（2）延長BD到F，可得△CDF，易證△ADF≌△BCD，那么AF=BC；
（3）△ABC的面積為△ADF的面積的2倍，根據三角形的面積公式可得AB的長．
點評：三角形全等，那么面積相等；等底同高的三角形的面積相等；三角形的一邊上的高等于三角形的面積的2倍除以這邊的長．