Question

如圖，一次函數y=x-5分別交x軸、y軸于A、B兩點，二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A、B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）設D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（E點位于D點上方），DE=．
①若點D的橫坐標為t，用含t的代數式表示D、E的坐標；
②拋物線上是否存在點F，使點F與點D關于x軸對稱，如果存在，請求出△AEF的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線的解析式求出A，B兩點的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）可先根據OA，OB的比例關系，求出D，E兩點的縱坐標差與橫坐標差的比例關系，然后根據DE的長求出這兩個差值．進而可表示出D，E兩點的坐標．然后可根據F，D關于y軸對稱，表示出F點的坐標，已知F點在拋物線上，可據此求出t的值，即可求出D，E兩點的坐標．進而可求出三角形AEF的面積．
解答：解：（1）由題意可得A（5，0）B（0，-5）
代入解析式y=-x²+bx+c
解得，
∴解析式為：y=-x²+6x-5．

（2）①作DQ∥y軸EQ⊥DQ
∵OA=5，OB=5
∴△OAB為等腰直角三角形
△DEQ∽△BAO
∵△DQE為等腰直角三角形
∴DE=，
∴DQ=EQ=1
∴D（t，t-5）
E（t+1，t-4）
②∵F與D關于x軸對稱
∴F（t，5-t）代入拋物線解析式
得5-t=-t²+6t-5
解得t₁=2  t₂=5
∵D、E異于A、B兩點
∴t=5舍去
∴t=2，
∴F（2，3），D （2，-3），E （3，-2），
∴AE=2，EF=，AF=3，
∴AE²+AF²=EF²，
∴∠EAF=90°，
∴S_△AEF=2×3×=6．
點評：本題主要考查二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點、相似三角形等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．