Question

已知二次函數y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個公共點．
（1）求C₁的頂點坐標；
（2）在如圖所示的直角坐標系中畫出C₁的大致圖象．
（3）將C₁向下平移若干個單位后，得拋物線C₂，如果C₂與x軸的一個交點為A（-3，0），求C₂的函數關系式，并求C₂與x軸的另一個交點坐標；
（4）若P（n，y₁），Q（1，y₂）是C₁上的兩點，且y₁＞y₂，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把二次函數的解析式化為頂點式的形式，求出其對稱軸方程，再根據拋物線與x軸只有一個交點即可得出其頂點坐標；
（2）在直角坐標系內畫出此函數的圖象即可；
（3）設C₂的函數關系式為y=（x+1）²+k，再把A（-3，0）代入可求出k的值，進而得出C₂的函數關系式，再拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點為A（-3，0），由對稱性可知它與x軸的另一個交點坐標；
（4）把x=1代入函數解析式求出y₂的值，根據函數圖象即可得出結論．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²+2x+m可化為y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，
∴對稱軸為x=-1，
∵與x軸有且只有一個公共點，
∴頂點的縱坐標為0，即m=1，
∴C₁的頂點坐標為（-1，0）；

（2）∵C₁的頂點坐標為（-1，0）
∴此函數的解析式為y=（x+1）²，
其圖象如圖所示．

（3）設C₂的函數關系式為y=（x+1）²+k，
∵C₂與x軸的一個交點為A（-3，0）
∴把A（-3，0）代入得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函數關系式為y=（x+1）²-4．
∵拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點為A（-3，0），由對稱性可知，它與x軸的另一個交點坐標為（1，0）．

（4）∵Q（1，y₂）是C₁上的點，
∴當x=1時，y₂=4，即Q（1，4），
∴n＞1或n＜-3時，y₁＞y₂．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，涉及到二次函數的幾何變換、二次函數的圖象及二次函數與x軸的交點問題等知識，難度適中．