Question

某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路且相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫療站，如圖所示，在A地北偏東45°、B地北偏西60°的方向上有一牧民區C．一天，甲醫療隊接到牧民區的求救電話，立刻設計了兩種救助方案，方案Ⅰ：從A地開車沿公路到離牧民區C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區C．方案Ⅱ：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區C．已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍．

(1)求牧民區到公路的最短距離CD的長度；

(2)你認為甲醫療隊設計的兩種救助方案，哪一種方案比較省時？并說明理由．(結果精確到0.1千米，參考數據：取1.73，取1.41)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設CD為x千米，由題意得，∠CBD＝30°，∠CAD＝45°，所以AD＝CD＝x． 　　在Rt△BCD中，tan30°＝， 　　所以BD＝x． 　　因為AD＋DB＝AB＝40， 　　所以x＋x＝40． 　　解得x≈14.7． 　　所以，牧民區到公路的最短距離CD為14.7千米． 　　(2)設汽車在草地上行駛的速度為v，則在公路上行駛的速度為3 v， 　　在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，所以AC＝CD． 　　方案Ⅰ用的時間t1＝＋＝＝； 　　方案Ⅱ用的時間t2＝＝； 　　所以t2－t1＝－＝． 　　因為3－4＞0， 　　所以t2－t1＞0． 　　所以方案Ⅰ用的時間少，方案Ⅰ比較合理．