Question

(本題滿分12分)已知：如圖一次函數y＝x＋1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象與一次函數y＝x＋1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為(1，0)

(1)求二次函數的解析式；
(2)求四邊形BDEC的面積S；
(3)在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y＝x2－x＋1
（2）
（3）P的坐標為(1，0)或(3，0)解析:
解：(1)將B(0，1)，D(1，0)的坐標代入y＝x2＋bx＋c得
得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分
(2)設C(x0，y0)，則有
解得∴C(4，3)．……………………………………………6分
由圖可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由對稱軸為x＝可知E(2，0)．
∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………………………………8分
(3)設符合條件的點P存在，令P(a，0)：

當P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的點P的坐標為(1，0)或(3，0)
綜上所述：滿足條件的點P共有二個………………………………………………………12分