Question

如圖所示，已知O是∠EPF的平分線上的一點，以O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點A、B和C、D．
（1）求證：PB=PD；
（2）若角的頂點P在圓上或圓內，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N．根據角平分線的性質可知OM=ON，PM=PN，再利用全等三角形的性質證明．
（2）成立，證明的理論依據相同．
解答：（1）證明：過O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N．
∵OP平分∠EPF，
∴OM=ON，又OP=OP，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM=PN，
∴AB=CD，則BM=DN，
∴PM+BM=PN+DN，
∴PB=PD．

（2）解：上述結論仍成立．如下圖所示．
當點P在圓上時，
根據解平分線的性質可知OM=ON，
∴△OPM≌△OPN，
∴PM=PN，
根據垂徑定理得AM=PM，CN=PN，
∴AP=CP，
當點P在圓內時，
根據角平分線的性質可知OM=ON，
∴△OPM≌△OPN，
∴PM=PN，
連接OA，OC則△OAM≌△OCN，
∴AM=CN，
∴AP=CP．
點評：本題綜合考查了垂徑定理和全等三角形的判定及性質．注意做幾何題時一定要圖題結合，利用圖形來直觀形象的解題．