Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過點（1，2）．
（1）若a=1，拋物線頂點為A，它與x軸交于兩點B，C，且△ABC為等邊三角形，求b的值；
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（1，2）的坐標代入拋物線的解析式中，聯立a=1，可得出b、c之間的關系式．如果△ABC是等邊三角形，那么倍BC的長正好是A點縱坐標的絕對值，聯立b、c的關系式可求出b的值．
（2）易知：b+c=2-a，bc=，可將b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的兩實根，那么可根據△≥0，求得a的大致取值范圍為a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，
則說明①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三數均為正數，顯然a+b+c＞4≠2，因此不合題意．
②a正，b、c為負，那么此時|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根據得出的a的取值范圍，即可求出|a|+|b|+|c|的最小指．
解答：解：（1）由題意，a+b+c=2，
∵a=1，
∴b+c=1
拋物線頂點為A（-，c-）
設B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0
∴|BC|=|x₁-x₂|===
∵△ABC為等邊三角形，
∴-c=
即b²-4c=2•，
∵b²-4c＞0，
∴=2，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2
所求b值為-2±2．

（2）∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a+b+c＜0，與a+b+c=2矛盾．
∴a＞0．
∵b+c=2-a，bc=
∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的兩實根．
∴△=（2-a）²-4×≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c為全大于0或一正二負．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，與a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c為一正二負，則a＞0，b＜0，c＜0，
則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
當a=4，b=c=-1時，滿足題設條件且使不等式等號成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值為6．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理的應用及不等式的相關知識．