Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4cm，動點P從點B出發，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向點D運動；動點Q從點A出發，以1cm/s的速度沿A→B方向向點B運動．若P、Q兩點同時出發，運動時間為t秒．
（1）連接PD、PQ、DQ，求當t=1時，△PQD的面積S．
（2）試求當點P在BC上時S的最小值及當點P在CD上時S的最大值；
（3）當點P在BC上運動時，是否存在這樣的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接求△PQD的面積較麻煩，考慮間接求法，即割補法．
（2）仿照第（1）小題可求出當P點在BC上時S關于t的函數關系式，然后根據二次函數性質求最小值；當點P在CD上時，S可直接由三角形面積公式求得，然后根據一次函數性質，結合t的取值范圍，求最大值．
（3）△PQD是等腰三角形有三種情況，需分別討論．然后根據每種情況特點，結合已知條件，找出關于t的相等關系，通過解方程，求出t．
解答：解：（1）如圖1，當t=1時，AQ=1cm，BQ=4-AQ=3（cm），BP=CP=2cm．
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD，
=4²-×4×1-×2×3-×2×4=7（cm²）．

（2）①如圖1，當0≤t≤2時，即點P在BC上時，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD
=16-•4•t-•2 t•（4-t）-•（4-2 t）•4
=t²-2 t+8．
=（t-1）²+7．
∴當t=1時，S有最小值7．
②如圖2，當2≤t≤4時，即點P在CD上時，DP=8-2 t．
S=•（8-2 t）•4=16-4 t．
根據一次函數的性質，S隨t的增大而減小，
∴當t=2時，S有最大值8．

（3）①如圖3，若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2 t，
解得t=．
②如圖4，若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得：t=-4±4，其中t=-4-4＜0不合題意，舍去，
∴t=-4+4．
③如圖5，若DQ=PQ，則DQ²=PQ²，
即4²+t²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=0或t=2．
∴t=或t=-4+4或t=0或t=2時，△PQD是等腰三角形．
點評：此題主要考查了割補法求圖形面積，利用一次函數、二次函數求最值，全等三角形的判別與性質，一元二次方程，等腰三角形，勾股定理，方程思想，數形結合思想等．