Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14，點E、F、G分別在BC、AB、AD上，且BE=3，BF=2，以EF、FG為鄰邊作?EFGH，設AG=x．
（1）直接寫出點H到AD的距離；
（2）若點H落在梯形ABCD內或其邊上，求△HGD面積的最大值與最小值；
（3）當x為何值時，△EHC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）證三角形BEF、HMG全等，即可求出答案；
（2）只要求出GD的最大GD=AD和最小值H在CD上，過C作CP⊥AD于M，則MD=MH=2，求出GD=5即可；
（3）過H作HN⊥BC于N，求出△EHC是等腰三角形，求出①當EH=EC時EN=3；②當HC=EC時，EN=2，當x=8時，也成立．③當EH=HC時，EN=2.5即可得出答案．

解答：答：（1）點H到AD的距離為2．


（2）解：∵△HGD中GD邊上的高為2，
①當△HDG面積取大值時，底邊GD最大，
此時點G與點A重合，如圖1：
∴GD=AD=14，
∴S_△HGD的最大值是14；
②△HGD面積取得最小值時，底邊GD最小，H越接近CD，GD就越小，
即點H在CD邊上，如圖2：
過C作CP⊥AD于P，過H點作HM⊥AD于M，
∵CP=DP=6，
∴∠D=45°，
則MD=MH=2，
顯然△HMG≌△FBE，
∴GM=BE=3，
∴GD=GM+MD=5，
∴S_△HGD的最小值是5，
答：△HGD面積的最大值是14，最小值是5．

（3）解：過H作HN⊥BC于N，如圖3：
顯然Rt△FAG≌Rt△HNE，
∵EC=BC-BE=5，HN=FA=AB-FB=4，EN=AG=x，
∵△EHC是等腰三角形，
①當EH=EC時，EH=5，HN=4，
∴EN=3即x=3，
②當HC=EC時，HC=5，HN=4，
∴NC=3　EN=EC-NC=2，即x=2，
當x=8時，如右圖，也可以成立．
③當EH=HC時，EN=NC=

1

2

EC=2.5，
綜上所述，當x=3或2或8或2.5時，△EHC是等腰三角形，
答：當x為3或2或8或2.5時，△EHC是等腰三角形．

點評：本題主要考查對直角梯形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰梯形的性質，平行四邊形的性質，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出所有的x的值是解此題的關鍵．