Question

【題目】如圖，將直角的頂點放在正方形的對角線上，使角的一邊交于點，另一邊交或其延長線于點，求證：；

如圖，將直角頂點放在矩形的對角線交點，、分別交與于點、，且平分．若，，求、的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2),.

【解析】

（1）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEP≌Rt△GEH，則問題得證；

（2）過點E作EM⊥BC于M，過點E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，過點C作CP⊥EG交EG的延長線于點P，過點C作CQ⊥EF垂足為Q，可得四邊形EPCQ是矩形，四邊形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易證△PCG≌△QCF（AAS），進而可得：CG=CF，由EM∥AB，EN∥AD知△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，從而可得EF：EG=BC：AB=2，進而可得：EF=2EG，然后易證EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線，進而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易證△EMG∽△ENF，進而可得MG：NF=EM：EN=1：2，即NF=2MG，然后設MG=x，根據CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，進而可得EF的值．

解：如圖，過點作于，過點作于，

∵四邊形為正方形，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；如圖，過點作于，過點作于，垂足分別為、，
過點作交的延長線于點，過點作垂足為，

則四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∵平分，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，．
∴，，
∴、，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵點放在矩形的對角線交點，
∴和分別是和的中位線，
∴，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
設，則，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴．