Question

（2011•黑河）在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG．

（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想．

（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明．

 

Answer 1

解：（1） EG=CG，EG⊥CG．       （2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG．            （2分）

證明：延長FE交DC延長線于M，連MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四邊形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

又∵BE=EF，

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

∴∠F=45°．

又FG=DG，

∠CMG=∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∴△GFE≌△GMC．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．         （2分）

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．                    （2分）

解析:略