Question

在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題： 點P是正方形ABCD內的一點，過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N，使點P是線段MN的三等分點，這樣的直線l能夠畫幾條？經過思考，甲同學給出了如下畫法： 如圖過點P畫PE⊥AB于E，在EB上取點M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l． 根據以上信息，解決下列問題： (1) 甲同學的畫法是否正確？請說明理由． (2) 在圖(1)中，能否再畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖(1)中畫出． (3) 如圖(2)，、分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點，且．當點P在線段上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？ (4) 如圖(3)，正方形ABCD邊界上的、、、、、、、都是所在邊的三等分點．當點P在正方形ABCD內的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l條數的情況．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	甲同學的畫法正確． 因為PE∥AD，所以△MPE∽△MNA，所以，而EM=2EA，所以，因此點P是線段MN的一個三等分點．
(2)	能再畫出一條符合題目條件的直線．在EB上取點使，直線即為滿足條件的直線，如圖所示．
(3)	若點P在線段上，能夠畫出符合題目條件的直線有無數條，如圖答12(2)所示．
(4)	若點P在、、、上時，可以畫出無數條符合條件的直線l； 當點P在正方形內部時，不存在這樣的直線l，使得點P是線段MN的三等分點；當點P在矩形，、、內部時，過點P可以畫出兩條符合條件的直線，使得點P是線段MN的三等分點.