Question

如果拋物線C₁的頂點在拋物線C₂上，同時，拋物線C₂的頂點在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關聯．
（1）已知拋物線①y=x²+2x-1，判斷下列拋物線②y=-x²+2x+1；③y=2x²+2x+1與已知拋物線①是否關聯，并說明理由．
（2）拋物線C₁：，動點P的坐標為（t，2），將拋物線繞點P（t，2）旋轉180°得到拋物線C₂，若拋物線C₁與C₂關聯，求拋物線C₂的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線①y=x²+2x-1=（x+1）²-2，其頂點坐標為M（-1，-2）．
經驗算，點M在拋物線②上，不在拋物線③上，所以，拋物線①與拋物線③不是關聯的；
拋物線②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其頂點坐標為N₁（1，2），
經驗算點N₁在拋物線①上，
所以拋物線①、②是關聯的，物線①與拋物線③不是關聯的．

（2）拋物線C₁：的頂點M的坐標為（-1，-2），
因為動點P的坐標為（t，2），所以點P在直線y=2上，
作M關于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，則ME=NF=4，所以點N的縱坐標為6．
當y=6時，，解之得，x₁=7，x₂=-9．
∴N（7，6）或N（-9，6）．
設拋物線C₂的拋物線為y=a（x-7）²+6．
因為點M（-1，-2）在拋物線C₂上，∴-2=a（-1-7）²+6，．
∴拋物線C₂的解析式為；
設拋物線C₂的拋物線為y=a（x+9）²+6．
因為點M（-1，-2）在拋物線C₂上，∴-2=a（-1+9）²+6，．
∴拋物線C₂的解析式為．
分析：（1）首先求出拋物線①的頂點坐標，代入拋物線②、③中進行驗證，然后再求得拋物線②、③的頂點坐標代入①中進行驗證，根據定義的拋物線關聯條件即可進行判斷．
（2）根據新定義，若拋物線C₁、C₂關聯，它們的頂點坐標在對方的函數圖象上；拋物線C₁繞點P旋轉180°后，所得C₂的頂點與拋物線C₁的頂點關于點P對稱，顯然它們的縱坐標到直線y=2的距離相等（點P在直線y=2上），可據此求出拋物線C₂的頂點縱坐標，代入拋物線C₁的解析式后即可求出拋物線C₂的頂點，將C₂的解析式設為頂點式，再將C₁的頂點坐標代入其中即可確定拋物線C₂的解析式．
點評：此題以新定義的形式考查了二次函數解析式的確定、函數圖象的平移與旋轉等知識，充分理解新定義的含義是解題的關鍵；（2）題中，無論函數圖象怎樣平移或旋轉，抓住開口方向、開口大小、頂點坐標即可正確得到新函數的解析式．