Question

如圖，若直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點A(

5

2

，0)，與雙曲線y=

m

x

(m≠0)在第二象限交于點B，且OA=OB，△OAB的面積為

5

2

（1）求直線AB的解析式及雙曲線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

Answer 1

分析：（1）由直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點A(

5

2

，0)，可得出OA的長，再根據OA=OB，可知OB=

5

2

，過點B作BM⊥x軸于點M，由△OAB的面積為

5

2

，可得出BM的長，在Rt△OBM中利用勾股定理可得出OM的長，進而求出B點坐標．再根據待定系數法就可以求出函數的解析式；
（2）求tan∠ABO的值，即在Rt△ABM中tan∠ABO=tan∠BAM=

BM

AM

．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點A(

5

2

，0)，
∴OA=

5

2

，
又∵OA=OB，
∴OB=

5

2

，
過點B作BM⊥x軸于點M，
∵△OAB的面積為

5

2

，即

1

2

OA•BM=

5

2

，
∴BM=2，在Rt△OBM中可求OM=1.5，
∴B（-1.5，2），
再根據待定系數法可得：

5 2 k+b=0 - 3 2 k+b=2

，
解得：k=-

1

2

，b=

5

4

，
∴直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

4

；
再將點B代入函數y=

m

x

(m≠0)得：m=-3，
∴雙曲線的解析式為：y=-

3

x

；

（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAM，
在Rt△ABM中，BM=2，∴MO=

3

2

，AM=

3

2

+

5

2

=4，
∴tan∠ABO=tan∠BAM=

BM

AM

=

1

2

．

點評：本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題及用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式、銳角三角函數的定義，涉及面較廣，難度適中．