Question

如圖，已知直角坐標系內的梯形AOBC（O為原點），AC∥OB，OC⊥BC，OA=2，AC，OB的長是關于x的方程x²-（k+2）x+5=0的兩個根，且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）填空：0C=

 

，k=

 

；
（2）求經過O，C，B三點的拋物線的解析式；
（3）AC與拋物線的另一個交點為D，動點P，Q分別從O，D同時出發，都以每秒1個單位的速度運動，其中點P沿OB由O→B運動，點Q沿DC由D→C運動，過點Q作QM⊥CD交BC于點M，連接PM，設動點運動時間為t秒，請你探索：當t為何值時，△PMB是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）由于AC，OB是關于x的方程x²-（k+2）x+5=0的兩個根，則AC•OB=5，根據S_△AOC：S_△BOC=1：5，又可得出OB=5AC，因此可得出OB=5，AC=1．k+2=AC+OB=6，因此k=4；在直角三角形ACO中，根據OA=2，AC=1即可根據勾股定理求得OC=

5

．
（2）可根據O，C，B三點的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）本題要先求出CD的距離，關鍵是求出D的坐標，可根據直線AC的解析式和（2）得出的拋物線的解析式求出D點的坐標，然后用時間t表示出QD，CQ，OP，PB的長．
①如果MP⊥OB，此時四邊形AOPQ是矩形，那么AQ=OP，可據此求出t的值．
②如果PM⊥BM，可延長QM交OB于N，則MN⊥OB，如果過C作OB的垂線設垂足為E，那么NE=CD-QD，可用含t的式子表示出NE的長，進而可表示出BN，NP的長，然后根據MN∥CE，依據平行線分線段成比例定理可得出MN：OC=BN：BE，可求出MN的長，在直角三角形BPM中由于MN⊥PB，可根據射影定理得出關于t的方程，從而求出t的值．
綜上所述可求得符合條件的t的值．

解答：解：（1）

5

，4．

（2）由題意得C（1，2），B（5，O），
設所求拋物線解析式為y=ax（x-5），
a=-

1

2

y=-

1

2

x²+

5

2

x．

（3）直線AC：y=2．
直線AC與拋物線交于點C，D．
解得x₁=1，x₂=4．
∴CD=3．延長QM交x軸于點N．
①若MP⊥OB，則四邊形AOPQ是矩形，
∴AQ=OP，
∴4-t=t，且t=2．
②若PM⊥BM，則MN²=PN•BN．
∵

MN

2

=

1+t

4

∴MN=

t+1

2

PN=5-（1+t）-t=4-2t，BN=1+t，
∴（

t+1

2

）²=（4-2t）（1+t），
∴t₁=-1（舍去），t₂=

5

3

．
綜上所得，當t=2（秒），或t=

5

3

（秒）時，△PMB是直角三角形．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、直角三角形的性質、矩形的性質等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．