Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD．
（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABDC}？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合）給出下列結(jié)論：
①

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不變，②

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變，
其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你找出這個(gè)結(jié)論并求其值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移規(guī)律，直接得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，根據(jù)：四邊形ABDC的面積=AB×OC求解；
（2）存在．設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，則S_△PAB=

1

2

×AB×h，根據(jù)S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，列方程求h的值，確定P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）結(jié)論①正確，過(guò)P點(diǎn)作PE∥AB交OC與E點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，故比值為1．

解答：解：（1）依題意，得C（0，2），D（4，2），
∴S_{四邊形ABDC}=AB×OC=4×2=8；

（2）存在．
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，
S_△PAB=

1

2

×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，得2h=8，解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）；

（3）結(jié)論①正確，
過(guò)P點(diǎn)作PE∥AB交OC與E點(diǎn)，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形平移的關(guān)系，坐標(biāo)與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及三角形、平行四邊形的面積公式．關(guān)鍵是理解平移規(guī)律，作平行線將相關(guān)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．